Wie löst man Gleichungen auf?

Fragen zu mathematischen Problemen
Xeon
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Wie löst man Gleichungen auf?

Beitrag von Xeon » Do Mär 16, 2023 4:57 pm

Hallo zusammen

Vielleicht könnt ihr mir wieder helfen, ich möchte folgende Gleichung lösen:

Code: Alles auswählen

12
---  = 2
y -1
Dabei soll der Wert von y herausgefunden werden. Ich weiß dass man auf beiden Seiten dasselbe Rechnen muss. Wie gehe ich da jetzt vor?

Danke im Voraus!


Liebe Grüße
Xeon

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Xin
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Re: Wie löst man Gleichungen auf?

Beitrag von Xin » Do Mär 16, 2023 5:05 pm

Xeon hat geschrieben:
Do Mär 16, 2023 4:57 pm

Code: Alles auswählen

12
---  = 2
y -1
Dabei soll der Wert von y herausgefunden werden. Ich weiß dass man auf beiden Seiten dasselbe Rechnen muss. Wie gehe ich da jetzt vor?
Naja, Du musst irgendwie das y alleine stellen. Was steht da - ich schreibe das mal was anders:

Code: Alles auswählen

{12 / ( y-1 )} = 2
Irgendwie müssen wir die {}-Klammerung wegkriegen, damit wir an y rankommen. Das geht, wenn wir beide Seiten mit (y-1) multiplizieren.

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12 = 2*( y-1 )
Jetzt müssen wir die runde Klammer loswerden. Wir können beide Seiten durch 2 teilen.

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6 = y-1
Nun sind die Klammern weg und das einzige, was stört ist die -1. Also addieren wir auf beide Seiten 1 auf:

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7 = y
Und noch in hübsch: :-)

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y = 7
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Re: Wie löst man Gleichungen auf?

Beitrag von Xeon » Fr Mär 17, 2023 4:19 pm

Xin hat geschrieben:
Do Mär 16, 2023 5:05 pm


Irgendwie müssen wir die {}-Klammerung wegkriegen, damit wir an y rankommen. Das geht, wenn wir beide Seiten mit (y-1) multiplizieren.

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12 = 2*( y-1 )
Auf beide Seiten? Das verstehe ich nicht, es wird doch nur die rechte Seite multipliziert? Auf der linken Seite ist ja wie vor die 12 geblieben.

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Re: Wie löst man Gleichungen auf?

Beitrag von Xin » Fr Mär 17, 2023 6:00 pm

Xeon hat geschrieben:
Fr Mär 17, 2023 4:19 pm
Xin hat geschrieben:
Do Mär 16, 2023 5:05 pm


Irgendwie müssen wir die {}-Klammerung wegkriegen, damit wir an y rankommen. Das geht, wenn wir beide Seiten mit (y-1) multiplizieren.

Code: Alles auswählen

12 = 2*( y-1 )
Auf beide Seiten? Das verstehe ich nicht, es wird doch nur die rechte Seite multipliziert? Auf der linken Seite ist ja wie vor die 12 geblieben.
Auf der linken Seite wurde vorher durch (y-1) dividiert. Multipliziere ich irgendwas mit (y-1) bleibt irgendwas * (y-1) / (y-1) übrig. (y-1)/(y-1) ist 1. Irgendwas mal 1, da darf man das mal 1 auch weglassen. :-)
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Re: Wie löst man Gleichungen auf?

Beitrag von Xeon » Mo Mär 20, 2023 6:17 pm

Als erstes teile ich:

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   12
----------- = 2
(y-1) / (y-1)
Das ergibt dann:

Code: Alles auswählen

12
---  = 2
1
Das gleiche mache ich auf der rechten Seite wo die 2 steht. Da dort (y-1) nicht steht, kann man das so nicht machen, als wird auf der rechten Seite multipliziert:

Code: Alles auswählen

12
---    = 2 * (y-1)
1
Habe ich es verstanden von der Logik bis hierher?

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Re: Wie löst man Gleichungen auf?

Beitrag von Xin » So Apr 02, 2023 1:37 pm

Xeon hat geschrieben:
Mo Mär 20, 2023 6:17 pm
Als erstes teile ich:

Code: Alles auswählen

   12
----------- = 2
(y-1) / (y-1)
Das ergibt dann:

Code: Alles auswählen

12
---  = 2
1
Das gleiche mache ich auf der rechten Seite wo die 2 steht. Da dort (y-1) nicht steht, kann man das so nicht machen, als wird auf der rechten Seite multipliziert:

Code: Alles auswählen

12
---    = 2 * (y-1)
1
Habe ich es verstanden von der Logik bis hierher?
Von der Denk-Logik her ja, schriftlich passt das so aber nicht.
Xeon hat geschrieben:
Mo Mär 20, 2023 6:17 pm
Als erstes teile ich:
Nein, Du multiplizierst und zwar bitte immer auf beiden Seiten, so ändert sich die Aussage der Gleichung nicht. Bei dem, was Du schreibst, steht einmal 12/1 = 2. Das ist falsch.

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 12 * (y-1) 
----------- = 2 * (y-1)
(y-1)
Nun kannst Du den Bruch kürzen. Du teilst also Zähler und Nenner durch (y-1). Damit ändert sich der Wert des Bruchs nicht.

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 12 * (y-1) / (y-1)
----------------------- = 2 * (y-1)
(y-1) / (y-1)
Entsprechend verrechnen:

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 12 * 1
----------------------- = 2 * (y-1)
1
ergibt: 12 = 2*(y-1).
Klammer auflösen: 12 = 2y-2
Die 2 rüberbringen, also auf beiden Seiten 2 addieren: 12+2 = 2y-2+2
also : 14 = 2y
Beide Seiten durch 2 teilen: 2y/2 = 14/2
und so kommt y=7 raus.

Oder eben alternativ ausgehend von 12 = 2*(y-1)
durch 2 Teilen: 12/2 = 2*(y-1)/2
ist 6 = y-1
die 1 rüberholen, also auf beiden Seiten 1 addieren: 6+1 = y-1+1
ergibt: 7=y, bzw. y=7.
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Re: Wie löst man Gleichungen auf?

Beitrag von Xeon » Mi Apr 05, 2023 3:25 pm

Xin hat geschrieben:
So Apr 02, 2023 1:37 pm
Nun kannst Du den Bruch kürzen. Du teilst also Zähler und Nenner durch (y-1). Damit ändert sich der Wert des Bruchs nicht.

Code: Alles auswählen

 12 * (y-1) / (y-1)
----------------------- = 2 * (y-1)
(y-1) / (y-1)
Ich habe den Bruch jetzt ausmultipliziert:

Code: Alles auswählen

12y -12
---------
  y -1
Aber wie kürze ich ihn jetzt?

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Re: Wie löst man Gleichungen auf?

Beitrag von Xin » Mi Apr 05, 2023 5:19 pm

Xeon hat geschrieben:
Mi Apr 05, 2023 3:25 pm
Ich habe den Bruch jetzt ausmultipliziert:

Code: Alles auswählen

12y -12
---------
  y -1
Aber wie kürze ich ihn jetzt?
In dem Du entweder siehst, dass oben das 12fache steht oder eben brav wieder ausklammerst.

Code: Alles auswählen

12*(y -1)         (y-1)
---------  = 12 * -----  = 12
  y -1            (y-1)
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Re: Wie löst man Gleichungen auf?

Beitrag von Xeon » Do Apr 06, 2023 3:27 pm

Xin hat geschrieben:
Mi Apr 05, 2023 5:19 pm
In dem Du entweder siehst, dass oben das 12fache steht oder eben brav wieder ausklammerst.

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12*(y -1)         (y-1)
---------  = 12 * -----  = 12
  y -1            (y-1)
Das Ausklammern hat geklappt, aber beim Kürzen vom Bruch bin ich mir nicht sicher:

Code: Alles auswählen

12y -12
--------
  y -1
Im Nennen und im Zähler steht ein y, also kann man das kürzen:

Code: Alles auswählen

12 -12
-------
 1 -1
Wenn man jetzt -12 im Zähler mit der -1 im Nenner kürzt, bleibt nur noch:

Code: Alles auswählen

12
-----
1
übrig. Und das ergibt dann: Richtig gerechnet?

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Re: Wie löst man Gleichungen auf?

Beitrag von Xin » So Apr 09, 2023 4:24 pm

Xeon hat geschrieben:
Do Apr 06, 2023 3:27 pm
Xin hat geschrieben:
Mi Apr 05, 2023 5:19 pm
In dem Du entweder siehst, dass oben das 12fache steht oder eben brav wieder ausklammerst.

Code: Alles auswählen

12*(y -1)         (y-1)
---------  = 12 * -----  = 12
  y -1            (y-1)
Das Ausklammern hat geklappt, aber beim Kürzen vom Bruch bin ich mir nicht sicher:

Code: Alles auswählen

12y -12
--------
  y -1
Im Nennen und im Zähler steht ein y, also kann man das kürzen:

Code: Alles auswählen

12 -12
-------
 1 -1
Wenn man jetzt -12 im Zähler mit der -1 im Nenner kürzt, bleibt nur noch:

Code: Alles auswählen

12
-----
1
übrig. Und das ergibt dann: Richtig gerechnet?
Nein. Du hast nicht durch y-1 geteilt. y-1/y-1 sind 1 und nicht 1-1. Du hast also unten y-1 und oben 12y-12 abgezogen. Das geht so nicht.
Du kannst die Summe oben (12y-12) ausklammern zu 12 * (y-1). Dann hast Du ein Produkt (Multiplikation) aus der Du kürzen darfst. Aus Summen kann man nicht kürzen. Du kannst also auch nicht die -12 oben gegen die -1 kürzen, da man aus Summen nicht kürzen darf. Der Bruchstrich ist eine Division. Teile dieser Division darfst Du nur verwerfen, wenn Du oben und unten die gleiche Multiplikationen rausnimmst: 1/2 ist genausoviel (2*1)/(2*2) = 2/4. Aber 1+1/2+1 ist was anderes, nicht gleich mit 1/2. Eine Umformung muss immer einen Wert ergeben, der gleich dem vorherigen Wert ist.
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